Matematika Dasar Statistika Data Tunggal (👊 Soal Dari Berbagai Sumber 👊)
Matematika Dasar Statistika Data Tunggal yang akan kita coba diskusikan berikut berawal dari pertanyaan sederhana Bernat Yusuf Sihite."Pak aku ada pertanyaan" adalah satu kalimat yang paling ditunggu oleh setiap guru jika masuk kelas pada umumnya. Jika ada guru yang tidak suka pada kalimat tersebut berarti ada yang salah pada guru tersebut sehingga guru tersebut sudah perli diberi pikinik beberapa minggu untuk 'merefresh' semangat keguruannya.
Kemarin beberapa menit sebelum jam pembelajaran selesai dan akan segera istirahat, salah satu generasi penerus bangsa yang ganteng di kelas saya namanya Bernat Yusuf Sihite mengangkat tangannya dan menyodorkan buku grafindo miliknya. Pak bagaimana menyelesaikan soal ini tanyanya sambil menunjukkan soal nomor 29. Karena soal yang lumayan panjang, Bernat menuliskannya di papan tulis, seperti tertulis sebagai berikut;
Skor-skor dalam suatu ujian diolah dengan menggunakan rumus $y=px+q$ dimana $p$ dan $q$ adalah konstanta dan $x$ dan $y$ masing-masing adalah skor mentah dan skor hasil. Jika mean dan simpangan baku skor mentah masing-masing adalah $42$ dan $10$; dan mean dan simpangan baku skor hasil masing-masing adalah $50$ dan $15$ maka nilai $ 2p-q $ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 16 \\
(B).\ & 15 \\
(C).\ & 14 \\
(D).\ & 13 \\
(E).\ & 12
\end{align}$
Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa $ x $ adalah skor mentah dimana mean-nya adalah $42$, sehingga kita peroleh persamaan:
$ \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}=42 $
$ x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=42n $
Begitu juga dengan $ y $ adalah skor hasil dimana mean-nya adalah $50$, sehingga kita peroleh persamaan:
$ \dfrac{y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}{n}=50 $
$ y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}=50n $
$ px_{1}+q+px_{2}+q+\cdots +px_{n}+q=50n $
$ p\left ( x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \right )+nq=50n $
$ 42n\cdot p+nq=50n $
$ 42p+q=50 $
$ q=50-42p $
Pada soal juga disampaikan bahwa simpangan baku $ x $ dan $ y $ berturut-turut adalah $10$ dan $15$, sehingga kita dapatkan persamaan sebagai berikut:
$ s^{2}=\dfrac{1}{n} \sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x}\right )^{2} $
$ 10^{2}=\dfrac{1}{n} \sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x}\right )^{2} $
$ 100n=\left ( x_{1}-42 \right )^{2}+\left ( x_{2}-42 \right )^{2}+\cdots +\left ( x_{n}-42 \right )^{2} $
$ 100n=x_{1}^{2}-84x_{1}+42^{2}+x_{2}^{2}-84x_{2}+42^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-84x_{n}+42^{2} $
$ 100n=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-84(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})+n\cdot 42^{2} $
$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=100n+84(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})-n\cdot 42^{2} $
$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=100n+84(42n)-n\cdot 42^{2} $
Dengan melakukan proses aljabar yang sama untuk skor hasil yaitu $ y $ kita memperoleh persamaan sebagai berikut:
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}=225n+100(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n})-n\cdot 50^{2} $
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
Nilai $ y_{1}=px_{1}+q $ sehingga $ y_{1}^{2}=\left (px_{1} +q \right )^{2}=p^{2}x_{1}^{2}+2pqx_{1}+q^{2} $ sampai dengan $ y_{n}^{2}=\left (px_{n} +q \right )^{2}=p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2} $
Dengan mensubstitusikan nilai $ y_{n}^{2}=p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2} $, sekarang kita peroleh persamaan dengan bentuk sebagai berikut:
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} x_{1}^{2}+2pqx_{1}+q^{2}+\cdots +p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \right )+2pq\left (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right ) +nq^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (100n+84(42n)-n\cdot 42^{2}\right )+2pq\left (42n\right ) +nq^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (100+84(42)-42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+100(50)-50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+2\cdot42\cdot42-42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+2\cdot50\cdot50-50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+42^{2}\right )+2p\left (50-42p \right )\left (42\right ) +\left (50-42p \right )^{2}$
$=225+50^{2} $
$ 100p^{2}+p^{2}42^{2}+4200p-2\cdot42^{2}p^{2}+50^{2}-2\cdot 50\cdot 42p+42^{2}p^{2}$
$=225+50^{2} $
$ 100p^{2}=2725-2500 $
$ p^{2}=\dfrac{225}{100} $
$ p^{2}=2,25 $
$ p=1,5 $
$ q=50-42p $
$ q=50-42\left (1,5 \right ) $
$ q=50-63 $
$ q=-13 $
...
$\therefore\ 2p-q=16 \, \, \, (A) $
Untuk menambah perbendaharaan kita tentang soal-soal statistika yang sudah pernah ditanyakan pada Ujian Nasional atau Ujian Masuk PTN, mari kita diskusikan beberapa soal berikut;
1. Soal SIMAK UI 2011 (👊 Soal Lengkap 👊)
Jika rata-rata $20$ bilangan bulat nonnegative berbeda adalah $20$, maka bilangan terbesar yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 210 \\
(B).\ & 229 \\
(C).\ & 230 \\
(D).\ & 239 \\
(E).\ & 240
\end{align}$
Jika $20$ bilangan bulat nonnegative kita misalkan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots,\ x_{20}$, maka
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}=\bar{x}$
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}}{20}=20$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}=400$
Agar kita peroleh $x_{20}$ bilangan yang terbesar yang mungkin maka kita harus beranggapan bahwa $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots\ x_{19}$ adalah bilang bulat nonnegative berbeda yang terkecil yaitu $1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ 19$, sehingga:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{19}+x_{20}=400$
$1+2+3+\cdots +19+x_{20}=400$
$190+x_{20}=400$
$x_{20}=400-190$
$x_{20}=210$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 210$
2. Soal SIMAK UI 2011 (👊 Soal Lengkap
Sebuah keluarga mempunyai $5$ orang anak. Anak tertua berumur $2$ kali dari umur anak termuda, sedangkan $3$ anak yang lainnya masing-masing berumur kurang $3$ tahun dari anak tertua, lebih $4$ tahun dari anak termuda, dan kurang $5$ tahun dari anak tertua. Jika rata-rata umur mereka adalah $16$ tahun, maka kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 4 \\
(B).\ & 6,25 \\
(C).\ & 9 \\
(D).\ & 12,25 \\
(E).\ & 20,25
\end{align}$
Jika kelima orang anak diurutkan dari anak pertama sampai anak kelima kita misalkan $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$, maka umur mereka dapat kita tuliskan dalam beberapa persamaan $a_{1}=2a_{5}$, $a_{1}-3$, $a_{5}+4$ dan $a_{1}-5$
$\dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5}=\bar{x}$
$\dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5}=16$
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}=90$
$a_{1} + a_{1}-3 + a_{5}+4 + a_{1}-5 + a_{5}=90$
$3a_{1} +2a_{5}-4=90$
$3a_{1} +2a_{5}=94$
$3a_{1} +a_{1}=94$
$4a_{1}=94$
$a_{1}=23,5$
$a_{5}=11,75$
$a_{1}-3=20,5$
$a_{1}-5=18,5$
$a_{5}+4=15,75$
kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga:
$\left (a_{2} - a_{3} \right )^{2}=\left (20,5-18,5 \right )^{2}$
$\left (a_{2} - a_{3} \right )^{2}=2^{2}=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 4$
3. Soal SIMAK UI 2011 (👊 Soal Lengkap)
Pada suatu ujian yang diikuti oleh $50$ orang mahasiswa diperoleh nilai rata-rata ujian adalah $30$ dengan median $40$, simpangan baku $15$, dan simpangan kuartil $25$. Untuk memperbaiki nilai rata-rata, semua nilai dikalikan $2$ kemudian dikurangi $10$. Akibat yang terjadi adalah...
$\begin{align}
(1).\ & \text{Meannya menjadi}\ 50 \\
(2).\ & \text{Simpangan bakunya menjadi}\ 30 \\
(3).\ & \text{Mediannya menjadi}\ 70 \\
(4).\ & \text{Simpangan kuartilnya menjadi}\ 50
\end{align}$
Misalkan
Data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{50}$
$\bar{x}_{L}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50}$
$30=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50}$
$1500=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}$
$Me=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26})$
$40=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26})$
$80=x_{25}+x_{26}$
$s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}$
$15=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( x_{i}-30 \right )^{2}}$
$15=\sqrt{\dfrac{1}{50}\left (\left ( x_{1}-30 \right )^{2}+\left ( x_{2}-30 \right )^{2}+\cdots+\left ( x_{50}-30 \right )^{2} \right )}$
$Q_{d}=\dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1})$
$25=\dfrac{1}{2}(x_{38}-x_{13})$
$50=x_{38}-x_{13}$
Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots\ 2x_{50}-10$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2x_{1}-10+2x_{2}-10+2x_{3}-10+ \cdots+ 2x_{50}-10}{50}$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2x_{1}-10+2x_{2}-10+2x_{3}-10+ \cdots+ 2x_{50}-10}{50}$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+ \cdots+ 2x_{50}-50 \times 10}{50}$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})-50 \times 10}{50}$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})}{50}- \dfrac{50 \times 10}{50}$
$\bar{x}_{B}=2\left (\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50}}{50} \right )- 10$
$\bar{x}_{B}=2\left ( 30 \right )- 10$
$\bar{x}_{B}=50$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa rata-rata berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama rata-ratanya $30$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka rata-rata baru adalah $2 \times 30 -10=50$
$Me_{B}=\dfrac{1}{2}(2x_{25}-10+2x_{26}-10)$
$Me_{B}=\dfrac{1}{2}(2x_{25}+2x_{26}-20)$
$Me_{B}=x_{25}+x_{26}-10$
$Me_{B}=80-10=70$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa median berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama mediannya $40$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka median baru adalah $2 \times 40-10=70$
$s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}$
$s_{B}=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-(2\bar{x}-10) \right )^{2}}$
$s_{B}=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-2\bar{x}+10 \right )^{2}}$
$s_{B}=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i} -2\bar{x} \right )^{2}}$
$s_{B}=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}(2^{2})\left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}}$
$s_{B}=2\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50} \left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}}$
$s_{B}=2(15)=30$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa simpangan baku berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian (pembagian) yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama simpangan bakunya $15$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan baku baru adalah $2 \times 15=30$
$Q_{d_{B}}=\dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1})$
$Q_{d_{B}}=\dfrac{1}{2}\left ( \left (2x_{38}-10 \right )-\left (2x_{13}-10 \right ) \right )$
$Q_{d_{B}}=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}-10 - 2x_{13}+15 \right )$
$Q_{d_{B}}=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}- 2x_{13} \right )$
$Q_{d_{B}}= x_{38}- x_{13}$
$Q_{d_{B}}= 50$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa simpangan quartil berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian (pembagian) yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama simpangan quartilnya $25$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan quartil baru adalah $2 \times 25=50$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ (1)(2)(3)(4)$
4. Soal SBMPTN 2017 (👊 Soal Lengkap)
4. Diketahui median dan rata-rata berat badan $5$ balita adalah sama. Setelah ditambah satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat $1\ kg$, sedangkan mediannya tetap. Jika $6$ data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 4 \\
(B).\ & \dfrac{9}{2} \\
(C).\ & 5 \\
(D).\ & 6 \\
(E).\ & \dfrac{13}{2}
\end{align}$
Misalkan
Data Lama: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\bar{x}_{L}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5}$
$b_{3}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5}$
$5b_{3}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}$
$4b_{3}=b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5}$
Data Baru: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5},\ b_{b}$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6}$
$b_{3}+1=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6}$
$6(b_{3}+1)= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} $
$6b_{3}+6= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} $
$5b_{3}+6= b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} $
$5b_{3}+6=4b_{3}+b_{b} $
$b_{3}+6=b_{b} $
Karena masuknya data baru mengakibatkan rata-rata naik $1\ kg$ maka nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$, kemungkinan-kemungkinan urutan data adalah:
- $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{b},\ b_{4},\ b_{5}$
Nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$ sehingga pada kemungkinan ini median akan naik, sedangkan dikatakan median tetap $b_{3}$ maka pada posisi ini tidak memenuhi. - $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{b},\ b_{5}$
pada kemungkinan ini karena median tetap sehingga $b_{3}=b_{4}$,
selisih $b_{b}-b_{4}$ adalah $b_{3}+6-b_{3}=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 6$
5.Soal SBMPTN 2016 (👊 Soal Lengkap)
Nilai ujian Matematika $30$ siswa pada suatu kelas berupa bilangan cacah tidak lebih daripada $10$. Rata-rata nilai mereka adalah $8$ dan hanya terdapat $5$ siswa yang memperoleh nilai $7$. Jika $p$ menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari $7$, maka nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 5 \\
(B).\ & 9 \\
(C).\ & 14 \\
(D).\ & 7 \\
(E).\ & 11
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{30}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30}}{30}$
$8=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30}}{30}$
$240=x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30}$
$240=x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}+\ 5 \times 7$
$240=x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}+ 35$
$205=x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}$
Agar nilai $p$ terbesar maka kita harap nilai $p$ semuanya adalah $6$ dan nilai yang lebih dari $7$ adalah $10$.
Jumlah $25$ nilai yang tidak $7$ adalah $205$ dan nilainya diharapkan paling banyak adalah $6$ lalu $10$.
Jika semua nilai $6$ maka jumlahnya adalah $6 \times 25 =150$, agar tercapai $205$ dibutuhkan ada nilai $10$.
Nilai $10$ yang diharapkan yaitu sebanyak $13$.
Alternatif cara memperoleh: $\dfrac{55}{4}=13\ \text{sisa}\ 3$ artinya dibutuhkan nilai $10$ sebanyak $13$ dan nilai $9$ sebanyak $1$.
Nilai $6$ yang paling banyak adalah $30-5-13-1=11$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 11$
6.Soal SBMPTN 2016 (👊 Soal Lengkap)
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian $6$ siswa adalah $6$. Jika median data tersebut adalah $6$ dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 adalah $4$, maka jumlah dua nilai ujian tertiggi adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 13 \\
(B).\ & 14 \\
(C).\ & 15 \\
(D).\ & 16 \\
(E).\ & 17
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{6}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6}}{6}$
$6=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6}}{6}$
$36=x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6}$
$\text{Median}=6$
$Me=\dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4})$
$6=\dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4})$
$12=x_{3}+x_{4}$
$\text{Jangkauan}=6$
$x_{6}-x_{1}=6$
$x_{1}=x_{6}-6$
$\text{Selisih Quartil}=4$
$Q_{3}-Q_{1}=4$
$x_{5}-x_{2}=4$
$x_{2}=x_{5}-4$
$x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}+ x_{5} + x_{6}=36$
$(x_{6}-6) + (x_{5}-4) + (12)+ x_{5} + x_{6}=36$
$2x_{5}+2x_{6}+2=36$
$2x_{5}+2x_{6}=34$
$x_{5}+x_{6}=17$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 17$
7.Soal SBMPTN 2016 (👊 Soal Lengkap)
Rata-rata nilai ujian Matematika siswa di suatu kelas dengan $50$ siswa tetap sama meskipun nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jumlah nilai-nilai tersebut adalah $350$. Jika data nilai-nilai ujian Matematika tersebut merupakan bilangan asli yang tidak lebih besar dari $10$, maka jangkauan data nilai yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & 2 \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4 \\
(E).\ & 5
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{50}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}+x_{n}}{n}$
$\bar{x}=\dfrac{350}{50}$
$\bar{x}=7$
Rata-rata tetap jika $x_{1}$ dan $x_{50}$ dikeluarkan;
$\bar{x}=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}}{48}$
$7=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}}{48}$
$336=x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}$
$x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}+x_{n}$
$x_{1} + 336 + x_{50}=350$
$x_{1} +x_{50}=14$
Dengan $x_{1} +x_{50}=14$ dan $x_{1},\ x_{50}$ bilangan asli yang tidak lebih besar dari $10$.
Jangkauan data ($R=x_{50} -x_{1}$) yang mungkin adalah saat nilai $x_{50},\ x_{1}$ yaitu $10,\ 4$; $9,\ 5$; $8,\ 6$; $7,\ 7$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 4$
8.Soal SBMPTN 2016 (👊 Soal Lengkap)
Dalam suatu kelas terdapat $23$ siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka adalah $7$. Terdapat hanya $2$ orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya $1$ orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang $0,1$ jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & 2 \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4 \\
(E).\ & 5
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots\ x_{21},\ x_{22},\ x_{23}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23}$
$7=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23}$
$161=x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}$
Rata-rata berkurang $0,1$ jika $x_{22}, x_{23}$ dan $x_{1}$ dikeluarkan;
$\bar{x}=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}}{20}$
$6,9=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}}{20}$
$138=x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}$
$161=x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}$
$161=x_{1} + 138 + x_{22}+x_{23}$
Misalkan nilai terendah adalah $m$ dan tertinggi adalah $n$.
$161=m + 138 + n+n$
$23=m + 2n$
Semua nilai berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, nilai $m$ yang mungkin adalah:
- $m=1$ maka $1 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=11$ (TM)
- $m=2$ maka $2 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{21}{2}$ (TM)
- $m=3$ maka $3 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=10$
- $m=4$ maka $4 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{19}{2}$ (TM)
- $m=5$ maka $5 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=9$
- $m=6$ maka $6 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{17}{2}$ (TM)
- $m=7$ maka $7 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=8$ (TM) Sebagai bahan bernalar, coba dipikirkan kenapa nilai $n$ diatas Tidak Memenuhi (TM)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 2$
9.Soal SBMPTN 2016 (👊 Soal Lengkap)
Seorang siswa mengikuti $6$ kali ujian dengan nilai $5$ ujian pertama $6,\ 4,\ 8,\ 5$ dan $7$. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada $10$ dan rata-rata $6$ kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 6 \\
(E).\ & 8
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots\, x_{5},\ x_{t}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{5}+x_{t}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{4 + 5 + 6 + 7+ 8+x_{t}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{30+x_{t}}{6}$
Pada data awal $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$ rata-rata adalah $6$ dan median adalah $6$.
Setelah ujian terakhir diikutkan rata-rata data lebih kecil dari median sehingga jika diurutkan, urutan data kemungkinannya adalah sebagai berikut:
- $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ x_{t}$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+7) $
$30+x_{t} \lt 3(13) $
$30+x_{t} \lt 39 $
$x_{t} \lt 9 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $8$ - $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ x_{t},\ 8$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+7) $
$30+x_{t} \lt 3(13) $
$30+x_{t} \lt 39 $
$x_{t} \lt 9 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $7,\ 8$ - $4,\ 5,\ 6,\ x_{t},\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+x_{t}) $
$30+x_{t} \lt 3(6+x_{t}) $
$30+x_{t} \lt 18+3x_{t} $
$30-18 \lt 3x_{t}-x_{t} $
$12 \lt 2x_{t} $
$6 \lt x_{t} $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $7$ - $4,\ 5,\ x_{t},\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(x_{t}+6) $
$30+x_{t} \lt 3(x_{t}+6) $
$30+x_{t} \lt 3x_{t}+18 $
$30-18 \lt 3x_{t}-x_{t} $
$12 \lt 2x_{t} $
$6 \lt x_{t} $
Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin - $4,\ x_{t},\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(5+6) $
$30+x_{t} \lt 3(11) $
$x_{t} \lt 33-30 $
$x_{t} \lt 3 $
Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin - $x_{t},\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(5+6) $
$30+x_{t} \lt 3(11) $
$x_{t} \lt 33-30 $
$x_{t} \lt 3 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $1,\ 2$
10.Soal SPMB 2006 (👊 Soal Lengkap)
Suatu ujian di ikuti dua kelompok dan setiap kelompok terdiri dari $5$ siswa. Nilai Via : http://www.foldersoal.com
Belum ada Komentar untuk "Matematika Dasar Statistika Data Tunggal (👊 Soal Dari Berbagai Sumber 👊)"
Posting Komentar