Matematika Dasar Pertidaksamaan (👊 Soal Dari Berbagai Sumber 👊)

Matematika Dasar tentang pertidaksamaan adalah salah satu materi matematika yang paling banyak diterapkan kepada bidang mata pelajaran lain lainnya. Dalam kehidupan sehari-hari juga penerapan.

Sekedar catatan saja, karena banyak yang menganggap sama yaitu antara pertidaksamaan (pertaksamaan) dan ketidaksamaan (ketaksamaan). Perbedaan paling signifikan antara pertidaksamaan dan ketidaksamaan adalah bahwa "pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya)" sedangkan "ketidaksamaan (ketaksamaan) merupakan kalimat tertutup (kalimat yang sudah pasti nilai kebenarannya)".

Beberapa teori dasar pada ketidaksamaan dan pertidaksamaan yang mungkin akan kita gunakan dalam menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan, diantaranya adalah:

• Nilai pertidaksamaan jika ditambah atau dikurang bilangan ($c$) yang sama nilainya tidak berubah,
  
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a+c\ \leq\ b+c$
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a-c\ \leq\ b-c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a+c\ \geq\ b+c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a-c\ \geq\ b-c$
• Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) postif yang sama nilainya tidak berubah,
  
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
• Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan ($c$) negatif yang sama nilainya berubah,
  
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
  • Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
  • Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
• Pertidaksamaan paling umum ditanyakan pada tingkat SMP atau SMA ada sebagai berikut:
  
  • Pertidaksamaan Linear:
    $ax+b\ \leq\ 0$
  • Pertidaksamaan Kuadrat:
    $ax^{2}+bx+c \leq\ 0$
  • Pertidaksamaan Pecahan:
    $\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \leq\ 0$ dimana $g(x) \neq 0$
  • Pertidaksamaan Kuadrat:
    $\sqrt{f(x)} \leq\ 0$ dimana $f(x) \geq 0$
  • Pertidaksamaan Harga Mutlak:
    $|f(x)|\ \leq\ 0$ dimana $|f(x)|=\sqrt{f^{2}(x)}$

Pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya), jadi soal-soal pertidaksamaan tujuannya secara umum adalah mencari batasan nilai varibel agar kalimat (pertidaksamaan) bernilai benar.

Untuk lebih memahami pertidakasamaan ini, kita coba sebagai bahan latihan beberapa soal berikut ini;

1. Soal SNMPTN 2011 Kode 796 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika $2 \lt\ x \lt 4$, $3 \lt\ y \lt 5$ dan $w=x+y$, maka nilai $w$ berada antara nilai...
$\begin{align}
(A).\ & 5\ \text{dan}\ 7 \\
(B).\ & 4\ \text{dan}\ 9 \\
(C).\ & 5\ \text{dan}\ 8 \\
(D).\ & 5\ \text{dan}\ 9 \\
(E).\ & 4\ \text{dan}\ 7 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Karena yang mau kita cari adalah nilai $w=x+y$ dimana $2 \lt\ x \lt 4$ dan $3 \lt\ y \lt 5$ maka kita dapat kisaran nilai $x+y$, yaitu:

Dari $2 \lt\ x \lt 4$ dan $3 \lt\ y \lt 5$ kita peroleh;
$\begin{align}
2 \lt & x \lt 4 & \\
3 \lt & y \lt 5 & \\
\hline
2+3 \lt & x+y \lt 4+5 \\
5 \lt & x+y \lt 9
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 5\ \text{dan}\ 9$

2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (👊 Soal Lengkap 👊)

Himpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x} \geq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ x|x <-3\ \text{atau}\ x\geq 2 \right \} \\ (B).\ & \left \{ x|x \leq -3\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (C).\ & \left \{ x|0 \leq x \leq 6 \right \} \\ (D).\ & \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (E).\ & \left \{ x| x\leq 6 \right \} \end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan $x-\sqrt{6-x} \geq 0$ bisa termasuk pertidaksamaan bentuk akar;
Pertama, bentuk pertidaksamaan kita rubah menjadi:
$x \geq \sqrt{6-x}$

Dari bentuk di atas ada dua batasan nilai $x$ yang bisa kita ambil, yaitu:

1. Dari $\sqrt{6-x}$ dapat kita simpulkan bahwa $6-x \geq 0$ maka $6 \geq x$
2. Karena $x \geq \sqrt{6-x}$ dan $\sqrt{6-x} \geq 0$ maka $x \geq 0$
3. Jika kedua ruas kita kudratkan, maka kita peroleh:
   $\begin{align}
   x & \geq \sqrt{6-x} \\
   x^{2} & \geq 6-x \\
   x^{2}+x-6 & \geq 0 \\
   (x+3)(x-2) & \geq 0 \\
   x \leq -3\ & \text{atau}\ x \geq 2
   \end{align}$

Dengan mengambil irisan dari batasan nilai $x$ di atas yaitu $6 \geq x \cap x \geq 0 \cap x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2$ kita peroleh himpunan penyelesaian adalah: $2 \leq x \leq 6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \}$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah $\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & -4 \\
(B).\ & -3 \\
(C).\ & -1 \\
(D).\ & 3 \\
(E).\ & 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

• $|f(x)| \lt a$ HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
• $|f(x)| \gt a$ HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$

Himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah:
$\left \{ x|-5\ \lt 2x-a \lt 5 \right \}$
$\left \{ x|-5+a\ \lt 2x \lt 5+a \right \}$
$\left \{ x|\dfrac{-5+a}{2}\ \lt x \lt \dfrac{5+a}{2} \right \}$
Himpunan penyelesaian diatas ekuivalen dengan:
$\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$
Sehingga dapat kita simpulkan:

• $\dfrac{-5+a}{2}=-1$
  $-5+a=-2$
  $a=3$
• $\dfrac{5+a}{2}=4$
  $5+a=8$
  $a=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 3$

4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (👊 Soal Lengkap 👊)

Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...
$(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$
$(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\}$
$(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\}$
$(D) \left \{x\mid 1 \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$
$(E) \left \{x\mid -1 \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan sedikit manipulasi aljabar, pertidaksamaan di atas kita rubah menjadi seperti berikut ini;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\
\dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0\\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batasan atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang adalah $2x^{2}=0$ maka $x=0$
• Pembuat nol penyebut adalah $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$

Batasan atau pembuat nol kita gambarkan dalam satu garis bilangan sehingga kita peroleh empat daerah yaitu:
$x\leq -1$ | $-1\leq x \leq 0$ | $0\leq x\leq 1$ | $x\geq 1$.

Sekarang kita coba memilih nilai $x$ sembarang pada setiap daerah, lalu menguji kepada pertidaksamaan;
misal kita pilih dari daerah $x\geq 1$ yang kita uji $x=3$ pada pertidaksamaan
$\begin{align}
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &= \dfrac{2(3)^{2}}{(3)^{2}(3+1)(3-1)}\\
&= \dfrac{18}{9(4)(2)}= \dfrac{1}{4} \\
& \therefore \text{artinya} \geq 0
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh daerah $x\geq 1$ bukan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini pertidaksamaan lebih dari atau sama dengan nol ($\geq 0$).

Dengan cara yang sama, kita akan memperoleh daerah yang hasilnya kurang dari atau sama dengan nol ($\leq 0$) yaitu pada daerah $-1\leq x\leq0$, dan $0\leq x\leq 1$.
(👊 cara pilar perhatikan gambar, setiap melewati batas faktor pangkat ganjil tanda berubah dan setiap melewati batas faktor pangkat genap tanda tetap 👊)

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$

5. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 (👊 Soal Lengkap 👊)

Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{3x+6}{|x-1|} \gt 4$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 5 \\
(B).\ & 6 \\
(C).\ & 7 \\
(D).\ & 8 \\
(E).\ & 9
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{3x+6}{|x-1|} & \gt 4 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} -4 & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6}{|x-1|} - \dfrac{4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
\dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0
\end{align}$

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batasan atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, Karena pertidaksamaan di atas memakai harga mutlak, sehingga kita kerjakan pada dua kemungkinan, yaitu:

• saat $x-1\geq 0$ maka $|x-1|=x-1$
  $\begin{align}
  \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
  \dfrac{3x+6-4(x-1)}{x-1} & \gt 0 \\
  \dfrac{3x+6-4x+4}{x-1} & \gt 0 \\
  \dfrac{-x+10}{x-1} & \gt 0 \\
  \dfrac{x-10}{x-1} & \lt 0 \\
  1 \lt x \lt 10 &
  \end{align}$
  Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8$ yaitu $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$
• saat $x-1 \lt 0$ maka $|x-1|=-x+1$
  $\begin{align}
  \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\
  \dfrac{3x+6-4(-x+1)}{-x+1} & \gt 0 \\
  \dfrac{3x+6+4x-4}{-x+1} & \gt 0 \\
  \dfrac{7x+2}{-x+1} & \gt 0 \\
  \dfrac{7x+2}{x-1} & \lt 0 \\
  -\dfrac{2}{7} \lt x \lt 1 &
  \end{align}$
  Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $1$ yaitu $0$.

Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8+1=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 9$

6. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (👊 Soal Lengkap 👊)

Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x+2}{x} \leq \dfrac{x+3}{x-2}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(B).\ & -\dfrac{4}{3}\ \leq x \gt 2 \\
(C).\ & -\dfrac{4}{3}\leq x \gt 2\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D).\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 2 \\
(E).\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{x+2}{x} & \leq \dfrac{x+3}{x-2} \\
\dfrac{x+2}{x} - \dfrac{x+3}{x-2} & \leq 0 \\
\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x)(x-2)} - \dfrac{(x+3)(x)}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{x^{2}-4-x^{2}-3x}{x(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{-4-3x}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} & \geq 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x-2) \neq 0$ maka atau $x \neq 0$ atau $x \neq 2$.

Berikutnya kita cari batasan atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang adalah $3x+4=0$ maka $x=-\dfrac{4}{3}$
• Pembuat nol penyebut adalah $(x)(x-2)=0$ maka $x=0$ atau $x=2$

Batasan atau pembuat nol kita gambarkan dalam satu garis bilangan sehingga kita peroleh empat daerah yaitu:
$x\leq -\dfrac{4}{3}$ | $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq 0$ | $0 \leq x \leq 2$ | $x\geq 2$.

Sekarang kita coba memilih nilai $x$ sembarang pada setiap daerah, lalu menguji kepada pertidaksamaan;
misal kita pilih dari daerah $0 \leq x \leq 2$ yang kita uji $x=1$ pada pertidaksamaan
$\begin{align}
\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} &= \dfrac{3(1)+4}{(1)(1-2)} \\
&= \dfrac{7}{-1}=-7 \\
& \therefore \text{artinya} \geq 0
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh daerah $0 \leq x \leq 2$ bukan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini pertidaksamaan kurang dari atau sama dengan nol ($\leq 0$).

Dengan cara yang sama, kita akan memperoleh daerah yang hasilnya lebih dari atau sama dengan nol ($\geq 0$) yaitu pada daerah $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq 0$, dan $x \geq 2$.
(👊 cara pilar perhatikan gambar, setiap melewati batas faktor pangkat ganjil tanda berubah dan setiap melewati batas faktor pangkat genap tanda tetap 👊)

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq 2$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-\dfrac{4}{3} \leq x \lt 0$ atau $x \gt 2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ -\dfrac{4}{3}\leq x \gt 2\ \text{atau}\ x \gt 2$

7. Soal SBMPTN 2016 Kode 124 (👊 Soal Lengkap 👊)

Semua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} \leq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & x \lt 0 \\
(B).\ & -3 \leq x \leq 0 \\
(C).\ & -3 \lt x \lt 0 \\
(D).\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 0 \\
(E).\ & x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} & \leq 0 \\
\dfrac{3(x+3)}{(x)(x+3)}-\dfrac{3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{3x+9-3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\
\dfrac{9}{(x)(x+3)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x+3) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq -3$.

Berikutnya kita cari batasan atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang tidak ada
• Pembuat nol penyebut adalah $(x)(x+3)=0$ maka $x=0$ atau $x=-3$

Batasan atau pembuat nol kita gambarkan dalam satu garis bilangan sehingga kita peroleh tiga daerah yaitu:
$x \leq -3$ | $-3 \leq x \leq 0$ | $x\geq 0$.

Sekarang kita coba memilih nilai $x$ sembarang pada setiap daerah, lalu menguji kepada pertidaksamaan;
misal kita pilih dari daerah $x \geq 0$ yang kita uji $x=1$ pada pertidaksamaan
$\begin{align}
\dfrac{9}{x(x+3)} &= \dfrac{9}{(1)(1+3)} \\
&= \dfrac{9}{4}\\
& \therefore \text{artinya} \geq 0
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh daerah $x \geq 0$ adalah Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini pertidaksamaan lebih dari atau sama dengan nol ($\geq 0$).

Dengan cara yang sama, kita akan memperoleh daerah yang hasilnya lebih dari atau sama dengan nol ($\geq 0$) yaitu pada daerah $x \leq -3$.
(👊 cara pilar perhatikan gambar, setiap melewati batas faktor pangkat ganjil tanda berubah dan setiap melewati batas faktor pangkat genap tanda tetap 👊) atau coba cara pilar menentukan HP pertidaksamaan kuadrat

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq -3$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 0$

8. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 (👊 Soal Lengkap 👊)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{x-1}{x+1} \lt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ x \in R |x \gt 0 \right \} \\
(B).\ & \left \{ x \in R |x \gt -1 \right \} \\
(C).\ & \left \{ x \in {R} |x \lt -1 \right \} \\
(D).\ & \left \{ x \in R |x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 0 \right \} \\
(E).\ & \left \{ x \in R |x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 1 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{x-1}{x+1} & \lt 1 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -1 & \lt 0 \\
\dfrac{x-1}{x+1} -\dfrac{x+1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{x-1-x-1}{x+1} & \lt 0 \\
\dfrac{-2}{x+1} & \lt 0 \\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.

Berikutnya kita cari batasan atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang tidak ada
• Pembuat nol penyebut adalah $x+1=0$ maka $x=-1$

Batasan atau pembuat nol kita gambarkan dalam satu garis bilangan sehingga kita peroleh dua daerah yaitu:
$x \lt -1$ | $x\gt -1$.

Sekarang kita coba memilih nilai $x$ sembarang pada setiap daerah, lalu menguji kepada pertidaksamaan;
misal kita pilih dari daerah $x\gt -1$ yang kita uji $x=0$ pada pertidaksamaan
$\begin{align}
\dfrac{-2}{x+1} &= \dfrac{-2}{0+1} \\
&= -2\\
& \therefore \text{artinya} \lt 0
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh daerah $x\gt -1$ adalah Himpunan Penyelesaian soal, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $x \gt -1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ \left \{ x \in \mathbb{R} |x \gt -1 \right \}$

9. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (👊 Soal Lengkap 👊)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{12}{x+1} \lt \dfrac{x}{6}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ x \in R |-1 \lt x \lt 8 \right \} \\
(B).\ & \left \{ x \in R |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \} \\
(C).\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 8 \right \} \\
(D).\ & \left \{ x \in R | x \leq -1\ \text{atau}\ 8 \lt x \lt 9 \right \} \\
(E).\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 8 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{12}{x+1} & \lt \dfrac{x}{6} \\
\dfrac{12}{x+1} - \dfrac{x}{6} & \lt 0 \\
\dfrac{(12)(6)}{6(x+1)} - \dfrac{(x)(x+1)}{(6)(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{72-x^{2}-x}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{-x^{2}-x+72}{6(x+1)} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x-72}{6(x+1)} & \gt 0 \\
\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.

Berikutnya kita cari batasan atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang adalah $(x+9)(x-8)=0$ maka $x=-9$ atau $x=8$
• Pembuat nol penyebut adalah $x+1=0$ maka $x=-1$

Batasan atau pembuat nol kita gambarkan dalam satu garis bilangan sehingga kita peroleh empat daerah yaitu:
$x\lt -9$ | $-9\lt x \lt -1$ | $-1\lt x\lt 8$ | $x\gt 8$.

Sekarang kita coba memilih nilai $x$ sembarang pada setiap daerah, lalu menguji kepada pertidaksamaan;
misal kita pilih dari daerah $-1\lt x\lt 8$ yang kita uji $x=0$ pada pertidaksamaan
$\begin{align}
\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} &= \dfrac{(0+9)(0-8)}{6(0+1)} \\
&= \dfrac{-72}{6} \\
& \therefore \text{artinya} \lt 0
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh daerah $-1\lt x\lt 8$ bukan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini pertidaksamaan kurang dari nol ($\lt 0$).

Dengan cara yang sama, kita akan memperoleh daerah yang hasilnya lebih dari nol ($\gt 0$) yaitu pada daerah $-9\lt x \lt -1$ dan $x\gt 8$.
(👊 cara pilar perhatikan gambar, setiap melewati batas faktor pangkat ganjil tanda berubah dan setiap melewati batas faktor pangkat genap tanda tetap 👊)

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq -1$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-9\lt x \lt -1$ dan $x\gt 8$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ \left \{ x \in \mathbb{R} |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \}$

10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (👊 Soal Lengkap 👊)

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ adalah...
$(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(B)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x \right )$
$(C)\ \left ( x\in \mathbb{R}: -2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(D)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$

Alternatif Pembahasan: show

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kira dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \leq 3-x \\
\sqrt{x^{2}-4} & \leq \sqrt{(3-x)^{2}} \\
x^{2}-4 &\leq (3-x)^{2} \\
x^{2}-4 &\leq x^{2}-6x+9 \\
x^{2}-x^{2}+6x & \leq 9+4 \\
6x & \leq 13 \\
x & \leq \dfrac{6}{13}
\end{align}$

Kedua kita perhatikan yaitu $\sqrt{x^{2}-4}$ mempunyai nilai real, yaitu $x^{2}-4 \geq 0$
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \geq 0 \\
(x+2)(x-2) & \geq 0 \\
x \leq - 2\ &\ \text{atau}\ x \geq 2
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, yaitu $3-x$ nilainya harus lebih dari atau sama dengan nol, ($3-x \geq 0$) karena $\sqrt{x^{2}-4} \geq 0$, sehingga $x \leq 3$ .

Irisan ketiga pertidaksamaan ditas jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (👊 Soal Dari Berbagai Sumber 👊) di atas adalah coretan kreatif siswa pada

• lembar jawaban penilaian harian matematika,
• lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Pertidaksamaan sangat diharapkan😊😊.

Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀


Via : http://www.foldersoal.com

Bagikan Artikel ini