Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) (👊 Soal Dari Berbagai Sumber 👊)

Matematika Dasar yang akan kita diskusikan kali ini adalah tentang Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. Untuk selanjutnya Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers ini kita singkat dengan FKFI. FKFI termasuk materi wajib yang pasti dikeluarkan pada Ujian Nasional atau ujian seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN). Jika masih ada yang meragukannya, coba pilih secara sembarang soal Ujian Nasional (UN) atau soal seleksi masuk PTN dari tahun berapa saja maka akan kita temukan satu soal tentang FKFI.

Sebelum kita coba diskusi membahas soal-soal FKFI yang sudah pernah diujikan pada UN atau SBMPTN, mari kita coba ingatkan kembali beberapa sifat-sifat dasar FKFI.

Untuk fungsi $f\left ( x \right )$ dan fungsi $g \left ( x \right )$, invers fungsi itu berturut-turut ditulis $f^{-1}\left ( x \right )$ dan $g^{-1}\left ( x \right )$. Fungsi Identitas $I \left ( x \right )=x$.

Beberapa Sifat Fungsi Komposisi Fungsi Invers yang bisa kita tuliskan, antara lain;

• Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
• $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
• $\left ( f \circ g \right )^{-1}\left ( x \right )=\left ( g^{-1} \circ f^{-1} \right )\left ( x \right )$
• $\left ( f^{-1} \circ f \right )\left ( x \right )=I\left ( x \right )$
• $\left (f^{-1}\right )^{-1} \left ( x \right ) =f\left ( x \right )$
• Jika $f\left ( x \right )=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$
• Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$

Sedikit penambahan tentang fungsi invers atau fungsi kebalikan adalah fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari sebuah fungsi.
Misalkan, untuk sebuah fungsi $f\left ( x \right )=4x-1$,
Untuk Nilai fungsi pertanyaanya adalah berapakah nilai $f\left ( 2 \right )$?, atau kita tulis menjadi $f\left ( 2 \right )= \cdots$.

Untuk fungsi invers sendiri, pertanyaannya adalah $f$ berapakah yang nilainya $7$?, atau bisa kita tulis menjadi $f\left ( \cdots \right )=7$.

Jika kedua pertanyaan diatas kita jawab menjadi $f\left ( 2 \right )= 7$ dan $f^{-1}\left ( 7 \right )= 2$ secara umum sudah ditampilkan pada sifat komposisi diatas yaitu Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.

Untuk lebih paham lagi beberapa soal berikut mungkin bisa membantu;

1. Soal SNMPTN 2011 Kode 879 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika $f(x)=\dfrac{x-2011}{x-1}$, maka $(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x)$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{x+2011}{x-1} \\
(B).\ & \dfrac{x+2011}{x+1} \\
(C).\ & \dfrac{x-2011}{x+1} \\
(D).\ & \dfrac{x-2011}{x-1} \\
(E).\ & \dfrac{-x+2011}{x-1}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
f(x) & = \dfrac{x-2011}{x-1} \\
(f \circ f)(x) & = f \left( f(x) \right) \\
& = \dfrac{f(x)-2011}{f(x)-1} \\
& = \dfrac{\dfrac{x-2011}{x-1}-2011}{\dfrac{x-2011}{x-1}-1} \\
& = \dfrac{\dfrac{x-2011}{x-1}-\dfrac{2011x-2011}{x-1}}{\dfrac{x-2011}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}} \\
& = \dfrac{\dfrac{x-2011-2011x+2011}{x-1}}{\dfrac{x-2011-x+1}{x-1}} \\
& = \dfrac{\dfrac{-2010x}{x-1}}{\dfrac{-2010}{x-1}} \\
& = \dfrac{-2010x}{-2010} \\
& = x
\end{align}$
Dari hasil di atas yaitu $(f \circ f)(x) = x$ maka:
$(f \circ f \circ f)(x) = f(x)$
$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = x$
$(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x) = f(x)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ \dfrac{x-2011}{x-1}$

2. Soal SNMPTN 2012 Kode 421 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika $f(x)=ax+3$, $a \neq 0$ dan $f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right )=3$ maka nilai $a^{2}+a+1$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 11 \\
(B).\ & 9 \\
(C).\ & 7 \\
(D).\ & 5 \\
(E).\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk $f(x) = ax+3$ dapat kita tentukan $f^{-1}(x)$ dan $f^{-1}(9)$ yaitu:
$\begin{align}
y & = ax+3 \\
y - 3 & = ax \\
\dfrac{y - 3}{a} & = x \\
f^{-1}(x) & = \dfrac{x - 3}{a} \\
f^{-1}(9) & = \dfrac{9 - 3}{a} \\
f^{-1}(9) & = \dfrac{6}{a}
\end{align}$
Lalu kita substitusikan kepada $f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right )=3$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right) & = f^{-1}\left ( \dfrac{6}{a} \right ) \\
3 & = \dfrac{\dfrac{6}{a} - 3}{a} \\
3a & = \dfrac{6-3a}{a} \\
3a^{2} & = 6-3a \\
3a^{2}+3a-6 & = 0 \\
a^{2}+a-2 & = 0 \\
a^{2}+a-2 +3 & = 0 +3 \\
a^{2}+a+1 & = 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 3$

3. Soal SNMPTN 2012 Kode 122 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika $f(x)=ax+3$, dan $f \left (f \left ( x \right ) \right )=4x+9$ maka nilai $a^{2}+3a+3$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 13 \\
(B).\ & 11 \\
(C).\ & 7 \\
(D).\ & 3 \\
(E).\ & 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk $f(x) = ax+3$ dapat kita tentukan $f \left (f \left ( x \right ) \right )$ yaitu:
$\begin{align}
f \left (f \left ( x \right ) \right ) & = af(x)+3 \\
4x+9 & = a(ax+3)+3 \\
4x+9 & = a^{2}x+3a+3
\end{align}$
Dari bentuk diatas dapat kita simpulkan $4x= a^{2}x$ dan $9 =3a+3$ sehingga
$a^{2}+3a+3=4+9$
$a^{2}+3a+3=13$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 13$

4. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $g\left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)$, maka $g^{-1} ( x )= \cdots$
$\begin{align}
(A).\ & f^{-1}( x)+4 \\
(B).\ & 4-f^{-1}( x) \\
(C).\ & f^{-1} ( x+4 ) \\
(D).\ & -f^{-1} ( x )-4 \\
(E).\ & f^{-1} ( x )-4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$g \left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)=a$.
Sehingga kita peroleh $g\left ( x-2 \right)=a$ dan $f\left ( x+2 \right)=a$.
$g\left ( x-2 \right)=a$
$g^{-1}\left ( a \right )=x-2$
$g^{-1}\left ( a \right )+2=x$

$f\left ( x+2 \right )=a$
$f^{-1}( a)=x+2$
$f^{-1}( a)=g^{-1}(a)+2+2$
$f^{-1}( a)=g^{-1}(a)+4$
$f^{-1}( a)-4=g^{-1}(a)$
$g^{-1}( a)=f^{-1}(a)-4$
$g^{-1} ( x)=f^{-1}(x)-4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ f^{-1} ( x )-4$

5. Soal SBMPTN 2016 Kode 324 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f\left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
$\begin{align}
(A).\ & g^{-1} ( x )-4 \\
(B).\ & g^{-1} ( x )-2 \\
(C).\ & \frac{1}{2}g^{-1} ( x )-2 \\
(D).\ & \frac{1}{2}\left (g^{-1} ( x )-2 \right) \\
(E).\ & \frac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini kita butuh sedikit kenakalan seperti soal sebelumnya yaitu memisalkan bahwa $ f \left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)=y$.
Sehingga kita peroleh $g\left ( 4+2x \right)=y$ dan $f\left ( x \right)=y$.
$g\left ( 4+2x \right)=y$
$g^{-1}\left ( y \right )=4+2x$
$g^{-1}\left ( y \right )-4=2x$
$\frac{1}{2} \left (g^{-1}(y)-4 \right )=x$
$\frac{1}{2} g^{-1} ( y )-2=x$

$f ( x )=y$
$f^{-1}( y)=x$
$f^{-1}(y)=\frac{1}{2} g^{-1} ( y )-2$
$f^{-1}(x)=\frac{1}{2} g^{-1} (x )-2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \frac{1}{2} g^{-1}(x)-2$

6. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 2x+8 \\
(B).\ & 2x-8 \\
(C).\ & 8-2x \\
(D).\ & \frac{x}{2}-4 \\
(E).\ & 4-\frac{x}{2} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$.
Alternatif lain kita bisa nakal dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
Kita misalkan $\frac{x}{2}+3=a$
$\frac{x}{2}=a-3$
$x=2a-6$

$f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
$f^{-1}\left ( a \right)= 2-\left ( 2a-6 \right)$
$f^{-1}\left ( a \right)= 2-2a+6$
$f^{-1}\left ( a \right)= 8-2a$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 8-2x$

7. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 (👊 Soal Lengkap 👊)

Diketahui $f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2},\ q\neq 0$. Jika $f^{-1}$ menyatakan invers dari $f$ dan $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $f^{-1} \left ( 2q \right)= \cdots$
$\begin{align}
(A).\ & -3 \\
(B).\ & -2 \\
(C).\ & -\frac{3}{2} \\
(D).\ & \frac{3}{2} \
(E).\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f^{-1}\left ( x \right)$ lalu mensubstitusikan $f^{-1}\left ( q \right)=1$ lalu menghitung $f^{-1}\left ( 2q \right)= \cdots$.
Alternatif lain dengan sedikit nakal memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $\left (f^{-1} \left ( -1 \right) \right )^{-1}=q$
atau bisa kita tulis $f\left ( -1 \right)=q$

$f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2}$
$f \left ( -1 \right)= \frac{-p+q}{-1+2}$
$q= \frac{-p+q}{1}$
$q= -p+q$
$p=0$

$f \left ( x \right)= \frac{q}{x+2}$
$f^{-1} \left ( \frac{q}{x+2} \right)= x$
kita misalkan $\frac{q}{x+2}=2q$ karena kita mau mencari $f^{-1} \left ( 2q \right)$
$q=2qx+4q$
$-3q=2qx$
$x=\frac{-3q}{2q}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ -\frac{3}{22}$

8. Soal SBMPTN 2013 Kode 427 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 2 \right)$ adalah $\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & -1 \\
(B).\ & 0 \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & 2 \\
(E).\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini bisa juga kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$ dan $f^{-1}\left ( 2 \right)$.
Alternatif lain kita bisa nakal dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$
Kita misalkan $\frac{x-6}{x+3}=-2$ karena kita mau menghitung $f^{-1}\left ( -2 \right)$
$x-6=-2x-6$
$-6+6=-3x$
$x=0$

$f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$
$f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{0-1}$
$f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{-1}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ -1$

9. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika $f(x)=x^{2}-1$, dan $g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$ maka daerah asal fungsi $f \cdot g$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ x|-\infty \lt x \lt \infty \right \} \\
(B).\ & \left \{ x|x \neq -1 \right \} \\
(C).\ & \left \{ x|x \neq 2 \right \} \\
(D).\ & \left \{ x|x \lt -1 \right \} \\
(E).\ & \left \{ x|x \geq 2 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
f \cdot g & = x^{2}-1 \cdot \dfrac{x-2}{x+1} \\
& = (x-1)(x+1) \cdot \dfrac{x-2}{x+1} \\
& = \dfrac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+1} \\
\end{align}$
Himpunan daerah asal sebuah fungsi adalah himpunan daerah asal (domain) agar fungsi mempunyai hasil (range) real.
Dari bentuk diatas $f \cdot g$ adalah $\dfrac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+1}$, sehingga agar fungsi $f \cdot g$ mempunyai hasil real, maka domain harus $\left \{ x|x \neq -1 \right \}$. Karena saat $x=-1$ nilai $f \cdot g$ adalah tak tentu.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ \left \{ x|x \neq -1 \right \}$

10. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika $f(x)=1-x^{2}$, dan $g(x)=\sqrt{5-x}$ maka daerah hasil fungsi komposisi $f \circ g$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ y|-\infty \lt y \lt \infty \right \} \\
(B).\ & \left \{ y|y \leq -1\ \text{atau}\ y \geq 1 \right \} \\
(C).\ & \left \{ y|y \leq 5 \right \} \\
(D).\ & \left \{ x|y \leq 1 \right \} \\
(E).\ & \left \{ x|-1 \leq y \geq 1 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
(f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = 1-\left( g(x) \right)^{2} \\
& = 1-\left( \sqrt{5-x} \right)^{2} \\
& = 1-(5-x) \\
& = x-4
\end{align}$
Fungsi $(f \circ g)(x)=x-4$ adalah fungsi linear (garis lurus), sehingga untuk himpunan daerah asal $(x)$ yang tidak dibatasi maka daerah hasil $(y)$ merupakan himpunan tak hingga.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ \left \{ y|-\infty \lt y \lt \infty \right \}$

11. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (👊 Soal Lengkap 👊)

Diketahui $f(x)=3x+2$ dan $g(x)=x^{2}-x+3$.
Fungsi komposisi $(fog)(x)= \cdots $
$(A)\ 3x^{2}+3x+11$
$(B)\ 3x^{2}-3x+11$
$(C)\ 3x^{2}-3x-11$
$(D)\ 9x^{2}-9x-5$
$(E)\ 9x^{2}-9x-5$

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
(fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = 3g(x)+2 \\
& = 3 \left( x^{2}-x+3 \right) +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 9 +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 11
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 3 x^{2} - 3x + 11$

12. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (👊 Soal Lengkap 👊)

Daerah asal fungsi $f$ yang ditentukan oleh $f(x)=\frac{\sqrt{3x-8}}{2x-20}$ adalah...
$(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(B)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(C)\ \left \{x | x \geq -6,\ x \neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(D)\ \left \{x | x \leq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(E)\ \left \{x | x \leq -6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$

Alternatif Pembahasan: show

Daerah asal fungsi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi mempunyai nilai Real.

Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi pecahan dan fungsi bentuk akar.

Untuk fungsi pecahan agar mempunyai nilai Real syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol.
$ \begin{align}
2x-20 & \neq 0 \\
2x & \neq 20 \\
x & \neq 0 \end{align} $

Untuk fungsi bentuk akar, agar mempunyai nilai Real syaratnya adalah yang didalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol.
$ \begin{align}
3x-18 & \geq 0 \\
3x & \geq 18 \\
x & \geq \frac{18}{3} \\
x & \geq 6 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$

13. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (👊 Soal Lengkap 👊)

Diketahui $f(x)=\frac{2-3x}{6x-5}$, $x \neq \frac{5}{6}$. Invers dari fungsi $f(x)$ adalah...
$(A)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x-3},\ x \neq \frac{1}{2}$
$(B)\ f^{-1}(x)=\frac{5x-2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
$(C)\ f^{-1}(x)=\frac{6x+3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$
$(D)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
$(E)\ f^{-1}(x)=\frac{6x-3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$

Alternatif Pembahasan: show

Invers fungsi $f(x)$;
$f (x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$
$ \begin{align}
f(x) & =\frac{2-3x}{6x-5} \\
y & =\frac{2-3x}{6x-5} \\
y(6x-5) & = 2-3x \\
6xy-5y & = 2-3x \\
6xy+3x & = 2+5y \\
x(6y+3) & = 2+5y \\
x & = \frac{2+5y}{6y+3} \\
f^{-1}(x) & = \frac{2+5x}{6x+3}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$

14. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (👊 Soal Lengkap 👊)

Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $(gof)(x)=x-3$. Nilai dari $g^{-1}(-2)$ adalah...
$(A)\ -2$
$(B)\ -1$
$(C)\ 0$
$(D)\ 1$
$(E)\ 2$

Alternatif Pembahasan: show

Berdasarkan informasi pada soal, diketahui $(gof)(x)=x-3$ maka
$g \left (f(x) \right )=x-3$
$g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{1}{2}-3$
$g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{5}{2}$
$g \left (a \right )=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$
invers fungsi $g(a)$ adalah $g^{-1}(a)$ salah satu cara menentukan $g^{-1}(a)$ yaitu:
$y=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$
$2y=a-5$
$2y+5=a$
$g^{-1}(a)=2a+5$
$g^{-1}(-2)=2(-2)+5=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 1$

15. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ dan $f(x)$ merupakan fungsi dengan $(f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$, maka himpunan penyelesaian $1 \leq f(x) \leq 6$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ \right \} \\
(B).\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ x \leq 2\ \right \} \\
(C).\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 2\ \right \} \\
(D).\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 2\ \right \} \\
(E).\ & \left \{ x | 0 \leq x \leq 2\ \right \} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari $(f \circ g)(x)$ dapat kita peroleh $f(x)$, dengan mensubtitusi $g^{-1}(x)$ ke $(f \circ g)(x)$.

Pertama kita coba cari $g^{-1}(x)$ dari $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$.
$\begin{align}
y & = \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \\
y^{2} & = \dfrac{1}{x-1} \\
x-1 & = \dfrac{1}{y^{2}} \\
x & = \dfrac{1}{y^{2}} +1 \\
g^{-1}(x) & = \dfrac{1}{x^{2}} +1 \\
g^{-1}(x) & = \dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}
\end{align}$

Berikut kita cari $f(x)$ dengan mensubstitusi $g^{-1}(x)$ ke $(f \circ g)(x)$
$\begin{align}
f(x) & = (f \circ g)(g^{-1}(x)) \\
& = \dfrac{2\left (g^{-1}(x) \right )-1}{\left (g^{-1}(x) \right )-1} \\
& = \dfrac{2\left (\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \right )-1}{\left (\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \right )-1} \\
& = \dfrac{\dfrac{2+2x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{x^{2}}}{\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{ x^{2}}{x^{2}}} \\
& = \dfrac{2+x^{2}}{1} \\
& = 2+x^{2}
\end{align}$

Diketahui $1 \leq f(x) \leq 6$, maka:
$1 \leq 2+x^{2} \leq 6$
$1-2 \leq x^{2} \leq 6-2$
$-1 \leq x^{2} \leq 4$

Untuk $x^{2} \leq 4$
$\begin{align}
x^{2}-4 & \leq 0 \\
(x+2)(x-2) & \leq 0 \\
-2 \leq x \leq 2 &
\end{align}$

Untuk $x^{2} \geq -1$ selalu benar untuk setiap $x$ bilangan real.

Irisan $-2 \leq x \leq 2$ dan $x \in \mathbb{R}$ adalah $-2 \leq x \leq 2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \left \{ x | -2 \leq x \leq 2\ \right \}$

16. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$ dan $g(x)=\dfrac{ 1}{x-2}$, maka himpunan penyelesaian $\dfrac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} \lt 0$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2\ \right \} \\
(B).\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 2 \lt x \lt 3 \right \} \\
(C).\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 2 \right \} \\
(D).\ & \left \{ x | 1 \lt x \lt 2 \text{atau}\ x \gt 3\ \right \} \\
(E).\ & \left \{ x | 2 \lt x \lt 3 \text{atau}\ x \gt 3\ \right \} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
f(x)g(x) & = \dfrac{1}{(x-1)^{2}} \times \dfrac{1}{x-2} \\
& = \dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}
\end{align}$

$\begin{align}
(f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{g(x)}-1 \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{x-2}-1 \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2} \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{2-x}{x-2} \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{-(x-2)}{x-2} \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (-1 \right )^{2}}=1
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} & \lt 0 \\
\dfrac{\dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}}{1} & \lt 0 \\
\dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} & \lt 0 \\
(x-1)^{2}(x-2) & \lt 0 \\
x \lt 1\ \text{atau}\ &\ 1 \lt x \lt 2
\end{align}$
(👊 Jika belum bisa mengerjakan pertidaksamaan dengan baik coba Matematika Dasar: Pertidaksamaan 👊)

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 2 \right \}$

17. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (👊 Soal Lengkap 👊)

Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f \left( g(x) \right)=2x-1$ dan $g(x+1)=x-3$, maka nilai $f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 14 \\
(B).\ & 9 \\
(C).\ & 0 \\
(D).\ & -9 \\
(E).\ & -14
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari $g(x+1)=x-3$ dapat kita peroleh $g(x)$ dan $g^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
g(x+1) & = x-3 \\
g(x+1)& = x+1-4 \\
g(a)& = a-4 \\
g(x)& = x-4 \\
g^{-1}(x)& = x+4 \\
g^{-1}(3)& = 3+4=7
\end{align}$

Dari $f \left( g(x) \right)=2x-1$ dapat kita peroleh $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
f \left( g(x) \right) & = 2x-1 \\
f ( x-4) & = 2x-1 \\
f ( x-4) & = 2(x-4)+8-1 \\
f ( x-4) & = 2(x-4)+7 \\
f(a) & = 2a+7 \\
f(x) & = 2x+7 \\
f^{-1}(x)& = \dfrac{x-7}{2} \\
f^{-1}(3)& = \dfrac{3-7}{2}=-2
\end{align}$

$f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)= -2 \times 7=-14$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ -14 $

18. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (👊 Soal Lengkap 👊)

Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f \left( g(x) \right)=x+1$ dan $g(x+2)=x-4$, maka nilai $f^{-1}(2) + g^{-1}(2)$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & -5 \\
(B).\ & -3 \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & 3 \\
(E).\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari $g(x+1)=x-3$ dapat kita peroleh $g(x)$ dan $g^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
g(x+2) & = x-4 \\
g(x+2)& = x+2-6 \\
g(a)& = a-6 \\
g(x)& = x-6 \\
g^{-1}(x)& = x+6 \\
g^{-1}(2)
Via : http://www.foldersoal.com

Bagikan Artikel ini