Matematika Dasar Persamaan Garis (👊 Soal Dari Berbagai Sumber 👊)

Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Persamaan Garis. Persamaan garis secara umum sudah dipelajari sejak duduk di bangku SMP, kalau tidak salah sewaktu kelas VII SMP. Tetapi meskipun sudah dipelajari sejak SMP siswa yang duduk di bangku SMA masih banyak yang tidak dapat menentukan persamaan garis secara umum.

Persamaan garis juga sangat sering dihubungkan kepada masalah Fungsi Kuadrat atau lingkaran, umumnya jika yang menjadi masalah adalah persamaan garis singgung grafik fungsi kuadrat atau persamaan garis singgung lingkaran. Bagaimana bentuk penyelesaian masalahnya, mari kita coba diskusi dari beberapa soal yang dirangkum dari berbagai sumber.

Sebelum kita masuk kepada masalah yang berkembang tentang persamaan garis, sekedar untuk mengingatkan kembali tentang persamaan garis ini, berikut beberapa coretan yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan masalah tentang persamaan garis.

Bentuk Umum Persamaan Garis

• $y=mx+n$ dengan gradien (kemiringan) adalah $m$
• $ax+by+c=0$ dengan gradien (kemiringan) adalah $m=-\dfrac{a}{b}$

Gradien Garis ($m$)

• Saat garis $g$ melalui titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $B(x_{2},y_{2})$ maka $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
• Saat garis $g$ memotong sumbu $x$ di $(b,0)$ dan memotong sumbu $y$ di $(0,a)$ maka $m=-\dfrac{a}{b}$
• Saat garis $g$ membentuk sudut sebesar $\alpha$ dengan sumbu $x$ positif maka $m=tan\ \alpha$
• Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$

Hubungan dua garis terhadap gradien

Jika garis $g_{1}:y=m_{1}x+c_{1}$ dan garis $g_{2}:y=m_{2}x+c_{2}$, maka berlaku:

• $m_{1}=m_{2}$ saat $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \parallel g_{2}$ maka $m_{1}=m_{2}$;
• $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ saat $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$;
• $tan\ \alpha=\left| \dfrac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} \cdot m_{2}} \right|$ saat $g_{1}$ dan $g_{2}$ membentuk sudut $\alpha$

Persamaan Garis

• Jika garis $g$ melalui titik $(0,0)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y=mx$;
• Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$;
• Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka garis $g$ adalah $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$;

Biar lebih mantap lagi dengan aturan-aturan dasar diatas, mari kita diskusikan beberapa soal Persamaan Garis berikut😊:

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ di titik $P(a,b)$ dengan $a \lt 0 $ memotong sumbu-y di titik $Q(0,-2)$, maka $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7-4\sqrt{2} \\
(B)\ & 2-2\sqrt{2} \\
(C)\ & 1-2\sqrt{2} \\
(D)\ & -2 \\4
(E)\ & -8
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ melalui titik $P(a,b)$ sehingga berlaku $b=\dfrac{1}{4}a^{2}-1$ atau $4b+4=a^{2}$.

Garis singgung kurva melalui titik $P(a,b)$ dan $Q(0,-2)$ maka garis singgung adalah;
$\begin{align}
\dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{0-a} \\
\dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{-a} \\
-ay+ab = & -2x+2a-bx+ab \\
-ay+2x+bx-2a = & 0 \\
-ay+(2+b)x-2a = & 0 \\
m = & \dfrac{2+b}{a} \\
\end{align}$
Karena garis merupakan garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ maka gradien $m=y'=\dfrac{1}{2}x$ dan gradien garis singgung kurva di titik $P(a,b)$ adalah $m=\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}a$.

Dari kedua nilai $m$ di atas kita peroleh persamaan, sebagai berikut;
$\begin{align}
\dfrac{1}{2}a = & \dfrac{2+b}{a} \\
\dfrac{1}{2}a^{2} = & 2+b \\
\dfrac{1}{2}(4b+4) = & 2+b \\
2b+2 = & 2+b \\
b = & 0
\end{align}$
Untuk $b=0$ maka $a^{2}=4b+4=4$, nilai $a=-2$ atau $a=2$ (TM).

Nilai $a+b=-2+0=-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -2$

2. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (👊 Soal Lengkap 👊)

Suatu garis yang melalui titi $(0,0)$ membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut $(1,0),(5,0),(1,12)$ dan $(5,12)$ menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & \dfrac{12}{5} \\
(E)\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Suatu garis yang membagi persegi panjang jadi dua bagian yang sama adalah melalui titik $(0,0)$ maka adalah $y=mx$. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Persegi panjang yang terbentuk luasnya adalah $4 \times 12=48$ satuan luas dan luas trapesium adalah setengah luas persegi panjang yaitu $24$ satuan luas.
$\begin{align}
24 & = \dfrac{1}{2}\ jumlah\ garis\ sejajar\ \cdot t \\
24 & = \dfrac{1}{2}\ (m+5m)(5-1) \\
24 & = 2(6m) \\
24 & = 12m \\
m & = 2 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 (👊 Soal Lengkap 👊)

Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-8y-9=0 \\
(B)\ & x+4y+3=0 \\
(C)\ & 2x-8y-10=0 \\
(D)\ & x+8y+7=0 \\
(E)\ & x-4y-5=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ kita misalkan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, sehingga berlaku
$y-(-1)=m(x-1)$
$y+1=mx-m$
$y=mx-m-1$

Karena garis $y=mx-m-1$ menyinggung kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ maka Diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol:
$\begin{align}
mx-m-1 = & \dfrac{x}{2-2x} \\
(mx-m-1)(2-2x) = & x \\
2mx-2m-2-2mx^{2}+2mx+2x -x = & 0 \\
-2mx^{2}+4mx+x-2m-2 = & 0 \\
2mx^{2}-4mx-x+2m+2 = & 0 \\
2mx^{2}+(-4m-1)x+2m+2 = & 0 \\
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (-4m-1)^{2}-4(2m)(2m+2) \\
0 = & 16m^{2}+8m+1 -16m^{2}-16m \\
0 = & -8m+1 \\
8m = & 1 \\
m = & \dfrac{1}{8}
\end{align}$

Persamaan garis adalah $y=mx-m-1$ sehingga $y=\dfrac{1}{8} x-\dfrac{1}{8}-1$ atau $8y=x-9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ x-8y-9=0$

4. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 (👊 Soal Lengkap 👊)

Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sma sisi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{3} \\
(B)\ & \sqrt{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}\sqrt{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ adalah $m=y'=-2x$,
Pada saat garis singgung melalui titik $P(-a,b)$ dan $R$ maka $m_{PR}=2a$
Pada saat garis singgung melalui titik $Q(a,b)$ dan $R$ maka $m_{QR}=-2a$

Garis singgung $PR$ dan $QR$ berpotongan dan membentuk segitiga sama sisi maka sudut yang dibentuk oleh $PR$ dan $QR$ masing-masing terhadap sumbu-$x$ positif adalah $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$, sehingga gradien garis $PR$ adalah $m_{PR}=tan\ 60^{\circ}=\sqrt{3}$.

Gradien $PR$ yaitu $m_{PR}=2a$ dan $m_{PR}=\sqrt{3}$ maka $2a=\sqrt{3}$ atau $a=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

5. Soal SBMPTN 2015 Kode 605 (👊 Soal Lengkap 👊)

Jika garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$, maka garis $g$ emeotong sumbu-$y$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (0,-4) \\
(B)\ & (0,-1) \\
(C)\ & (0,0) \\
(D)\ & (0,1) \\
(E)\ & (0,4)
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama, dan garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ maka gradien garis $g$ adalah $m_{g}=2$.

Diketahui juga bahwa garis $g$ menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$ maka $m_{g}=y'=2x+4$.

Dari nilai $m_{g}=y'=2x+4$ dan $m_{g}=2$ dapat kita tentukan nilai $x$ dan $y$ saat $m=2$ yaitu
$\begin{align}
m_{g} & = m_{g} \\
2x+4 & = 2 \\
2x & =-2 \\
x & =-1 \\
y & = x^{2}+4x+5 \\
y & = (-1)^{2}+4(-1)+5 \\
y & = 1-4+5 \\
y & = 2
\end{align}$

Garis $g$ adalah garis yang melalui titik $(-1,2)$ dan gradien $m=2$, maka persamaan garis $g$ adalah...
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 2(x-(-1)) \\
y-2 & = 2x+2 \\
y-2x & = 4
\end{align}$
Garis $g: y-2x = 4$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,4)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ (0,4)$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Persamaan Garis (👊 Soal Dari Berbagai Sumber 👊) di atas adalah coretan kreatif siswa pada

• lembar jawaban penilaian harian matematika,
• lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Persamaan Garis sangat diharapkan😊😊

Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀


Via : http://www.foldersoal.com

Bagikan Artikel ini