Matematika Dasar: Belajar Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks

Operasi aljabar pada matriks antara lain penjumlahan matriks, pengurangan matriks, perkalian bilangan real dengan sebuah matriks dan perkalian dua matriks.

Mari kita coba diskusikan dasar-dasar pada operasi hitung matriks ini. Seperti yang disampaikan pada pengenalan matriks sebelumnya bahwa dalam mempelajari matriks, kita harus teliti. Karena jika salah satu unsur saja maka akan mengakibatkan kesalahan pada komponen yang lainnya maka akan memaksa kita untuk melakukan penghitungan ulang, dan tentu itu akan sangat membutuhkan waktu yang tidak sedikit.

Operasi hitung pada matriks tidaklah sulit, hanya butuh ketelitian ekstra dalam perhitungannya. Dari semua operasi hitung yang akan kita diskusikan, operasi perkalian dua matriks yang memerlukan energi lebih besar daripada operasi hitung lainnya. Karena kita akan mengkombinasikan operasi perkalian dan penjumlahan. Tapi itu bukan sebuah masalah yang berarti, dengan banyak berlatih melakukan perkalian dua matriks, maka kita pasti akan terbiasa dalam elakukan operasi perhitungan dua matriks atau lebih.

Pada Operasi hitung matriks, kenapa tidak ada pembagian? ini terjadi karena pada perkalian matriks tidak berlaku bersifat komutatif [*Jika sifat komutatif berlaku hanya untuk matriks khusus].

Semisalkan bentuk $ \frac{A}{B} = \frac{1}{B} \times A \neq A \times \frac{1}{B}$.
Dari bentuk inilah maka operasi hitung pembagian pada matriks tidak ada. Yang ada nantinya adalah bentuk invers dari matriks dikalikan dengan matriks bukan inversnya.

Penjulahan Dua Matriks

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen $ a_{ij}$ dan $ b_{ij} $.

Jika matriks $C$ adalah jumlah matriks $A$ dengan matriks $B$, ditulis $C = A + B$,
matriks $C$ juga berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen ditentukan oleh: $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ [untuk semua $i$ dan $j$].

Sifat-sifat penjumlahan pada matriks

• Komutatif: $A + B = B + A$
• Assosiatif: $(A + B) + C = A + (B + C)$
• penjumlahan berulang: $ kA = \underbrace{A + A + A + ... + A}_{\text{sebanyak } k} $

Pengurangan dua matriks

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen $ a_{ij}$ dan $b_{ij}$.

Jika matriks $C$ adalah pengurangan matriks $A$ dengan matriks $B$, ditulis $C = A - B$,
matriks $C$ juga berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen ditentukan oleh: $ c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$ [untuk semua $i$ dan $j$].

Catatan:
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika dan hanya jika memiliki ordo yang sama. Ordo matriks hasil penjumlahan atau pengurangan dua matriks sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan.

Untuk lebih memahami maksud dari teori di atas, langsung saja kita simak contoh-contoh berikut:

Contoh 1:
Diketahui matriks -matriks berikut:
$A = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right)$
$B = \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) $
$C = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right)$
$D = \left( \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & y + 3 \end{matrix} \right) $
Tentukan hasil dari:
a). $ A + B$
b). $ A - B$
c). $ A + C$
d). $ C + D$

Alternatif Pembahasan: show

a). $ A + B $
$ \begin{align}
A + B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 + 5 & -1 + 2 & 3 + (-1) \\ 1 + 2 & 4 + 1 & (-2) + 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right)
\end{align} $

b). $ A - B $
$ \begin{align}
A - B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 - 5 & -1 - 2 & 3 - (-1) \\ 1 - 2 & 4 - 1 & (-2) - 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -3 & -3 & 4 \\ -1 & 3 & -5 \end{matrix} \right)
\end{align} $

c). $ A + C $
Operasi hitung $ A + C$ tidak bisa dilakukan karena ordonya berbeda.

d). $ C + D $
$ \begin{align}
C + D & = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & y + 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 3 + x & 2 + (-1) \\ (-1) + 2 & 6 + (y + 3) \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} x + 3 & 1 \\ 1 & y + 9 \end{matrix} \right)
\end{align} $

Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks

Perklaian suatu bilangan real dengan sebuah matriks serng juga disebutkan perkalian skalar.

Misalkan $A$ adalah suatu matriks berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen $ a_{ij}$ dan $ k$ adalah suatu bilangan real. Matriks $C$ adalah hasil perkalian bilangan real $ k$ terhadap matriks $A$, dinotasikan: $ C = k.A$ bila matriks $C$ berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemennya ditentukan oleh: $ c_{ij} = k.a_{ij} $ [untuk semua $ i$ dan $ j$].

Contoh 2:
Diketahui matriks -matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right)$,
$ B = \left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $.

Tentukan hasil dari :
a). $ 3A $
b). $ -2B $
c). $ A + 3B $
d). $ 2A - 3B $

Alternatif Pembahasan: show

a). $ 3A $
$ \begin{align}
3A & = 3\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 3.2 & 3.(-1) \\ 3.1 & 3.4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 6 & -3 \\ 3 & 12 \end{matrix} \right)
\end{align} $

b). $ -2B $
$ \begin{align}
-2 B & = -2 \left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -2.5 & -2.2 \\ -2.2 & -2.1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -10 & -4 \\ -4 & -2 \end{matrix} \right)
\end{align} $

c). $ A + 3B $
$ \begin{align}
A + 3B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) + 3\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 + 15 & -1 + 6 \\ 1 + 6 & 4 + 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 17 & 5 \\ 7 & 7 \end{matrix} \right)
\end{align} $

d). $ 2A - 3B $
$ \begin{align}
2A - 3B & = 2\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) - 3\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 2 & 8 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 4 - 15 & -2 - 2 \\ 2 - 2 & 8 - 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -11 & -4 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right)
\end{align} $

Perkalian Dua Matriks

Jika $C$ adalah matriks hasil perkalian matriks $A_{m \times n} $ dan matriks $B_{n \times p}$, dinotasikan $C = A \times B$, maka:

• Matriks $C$ berordo $ m \times p$.
• Elemen-elemen matriks $C$ pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$, dinotasikan $c_{ij}$, diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-$i$ matriks A dan elemen kolom ke-$j$ matriks B, kemudian dijumlahkan.
• Dinotasikan $ c_{ij} = a_{i1}.b_{1j} + a_{i2}.b_{2j} + a_{i3}.b_{3j} + ... + a_{in}.b_{nj} $

Catatan :

• Pada perkalian dua matriks $ AB $ hasilnya belum tentu sama dengan $ BA $
• Dua matriks bisa dikalikan jika dan hanya jika banyak kolom matriks pertama [*disebelah kiri] sama dengan banyak baris matriks kedua [*disebelah kanan].

Sifat-sifat perkalian pada matriks

• Assosiatif: $(A \times B) \times C = A \times (B \times C) $
• Distributif: $ A \times (B+C) = A \times B + A \times C $
• Pangkat: $ A^n = \underbrace{A \times A \times A \times ... \times A}_{n \text{ faktor}}$

Contoh 3:
Diketahui matriks -matriks berikut:
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)$
$ B = \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right)$
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right)$
$ D = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right)$

$ P = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right)$
$ Q = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right) $

Tentukan hasil dari :
a). $ AB$
b). $ CD$
c). $ DC$
d). $ PQ$
e). $ PC$

Alternatif Pembahasan: show

a). $ AB $
$ \begin{align}
AB & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} a.e+b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f + d.h \end{matrix} \right)
\end{align} $

b). $ CD $
$ \begin{align}
CD & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 1.5+2.7 & 1.6+2.8 \\ 3.5 + 4.7 & 3.6 + 4.8 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 5+14 & 6+16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix} \right)
\end{align} $

c). $ DC $
$ \begin{align}
DC & = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 5.1+6.3 & 5.2+6.4 \\ 7.1 + 8.3 & 7.2 + 8.4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 5+18 & 10+24 \\ 7 + 24 & 14 + 32 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 23 & 24 \\ 31 & 46 \end{matrix} \right)
\end{align} $

terlihat bahwa hasil $ CD \neq DC $

d). $ PQ $
$ \begin{align}
PQ & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -1.1 + 3.(-3) + 2.6 & -1.2 + 3.5 + 2.(-2) \\ 1.1 + 1. (-3) + 1.6 & 1.2 + 1. 5 + 1.(-2) \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -1 + (-9) + 12 & -2 + 15 + (-4) \\ 1 + (-3) + 6 & 2 + 5 + (-2) \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 & 9 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right)
\end{align} $

e). $ PC $
operasi $ PC $ tidak bisa dihitung karena tidak memenuhi syarat ordonya, yaitu banyak kolom matriks $ P $ [$3$ kolom] tidak sama dengan banyak baris matriks $ C $ [ada 2 baris].

Diskusi sederhana tentang operasi hitung matriks diatas masih tergolong sangat sederhana. Tetapi apa yang kita diskusikan di atas sudah bisa menjadi modal kita untuk menaiki anak tangga berikutnya untuk lebih mengenal dunia matriks. Jika tertarik untuk mencoba menjawab soal-soal masuk perguruan tinggi negeri tentang matriks, apa yang disampaikan di atas mungkin belum cukup.

Dengan menambah frekuensi latihan dan berlatih operasi hitung pada matriks, maka teman-teman pasti akan bisa untuk melahap semua soal-soal yang berkaitan dengan operasi hitung matriks seperti operasi penjumlahan, pengurangan, kali skalar, dan kali dua matriks. [Konsep Matematika]


Via : http://www.foldersoal.com

Bagikan Artikel ini